Question

求多元函数的极限 lim(x^2+y^2)^(x^2*y^2) x->0,y->0

Answer 1

解：∵x²y²≤(x²+y²)²/4
∴0≤(x²+y²)^(x²y²)≤(x²+y²)^[(x²+y²)²/4]
∵lim(x->0,y->0){(x²+y²)^[(x²+y²)²/4]}=lim(t->0)[t^(t²/4)] (令t=x²+y²)
=lim(t->0)[e^(t²lnt/4)] (应用对数性质)
=e^[lim(t->0)(t²lnt/4)] (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(t->0)[lnt/(4/t²)]}
=e^{lim(t->0)[(1/t)/(-8/t³)]} (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=e^{lim(t->0)[t²/(-8)]}
=e^0
=1
∴由两边夹定理知，lim(x->0,y->0)[(x²+y²)^(x²y²)]=1。

追问

lim(t->0)[e^(t²lnt/4)] 怎么用对数性质得到的啊

追答

对数性质是：x=e^lnx (x>0)

Answer 2

解：用z表示原函数表达式，则：
ln|z|= (x^2*y^2) ln |(x^2+y^2)|《1/4* (x^2+y^2)(x^2+y^2) ln |(x^2+y^2)|
因为： (x^2+y^2）->0，(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)->0 （ x->0,y->0）
所以：lim(x^2+y^2)^(x^2*y^2) =1. （x->0,y->0）

Answer 3

解： （无论从哪个方向趋近，函数的极限是不变的）
从y=kx方向趋近时，有
lim(x^2+y^2)^(x^2*y^2) x->0,y->0=lim(x^2+k^2x^2)^(k^2*x^4)
取对数lim(x^2+k^2x^2)^(k^2*x^4)=e^[limx^4k^2ln(x^2(1+k^2))]
对[limx^4k^2ln(x^2(1+k^2))]
利用洛必达法则得到极限是0
所以原函数的极限是e^0=1
xiexie