Question

(1)如图,A、B、C三点在同一直线上,分别以AB、BC为边,在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE。则AE=DC,BF=BG吗？

(2)如图，若A、B、C不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立，请证明。
(3)在如图，若连接FG，你还能得到什么结论？说明理由。

Answer 1

1、证明：
∵等边△ABD
∴AB＝BD，∠ABD＝60
∵等边△BCE
∴BC＝BE，∠CBE＝60
∴∠DBE＝180-∠ABD-∠CBE＝60
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝120, ∠DBC＝∠CBE+∠DBE＝120
∴∠ABE＝∠DBC
∴△ABE全等于△DBC （SAS）
∴AE＝DC，∠BAE＝∠BDC
又∵∠ABC＝∠DBE＝60
∴△ABF全等于△DBG
∴BF＝BG
2、AE＝DC成立，BF＝BG不成立
证明：
∵等边△ABD
∴AB＝BD，∠ABD＝60
∵等边△BCE
∴BC＝BE，∠CBE＝60
∴∠DBE＝180-∠ABD-∠CBE＝60
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝60+∠DBE, ∠DBC＝∠CBE+∠DBE＝60+∠DBE
∴∠ABE＝∠DBC
∴△ABE全等于△DBC （SAS）
∴AE＝DC
3、△BFG为等边三角形
证明：
∵BF＝BG，∠DBE＝60
∴等边△BFG

Answer 2

试题
（1）如图①，A，B，C三点在一直线上，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G．则AE=DC吗？BF=BG吗？请说明理由；
（2）如图②，若A，B，C不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明；
（3）在图①中，若连接F，G，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）

考点：等边三角形的性质．
专题：证明题；开放型．
分析：只需找出两个三角形全等的条件即可证明．
解答：解：AE=DC，BF=BG．理由如下：
（1）因为△ABD，△BCE是等边三角形，
∴AB=DB，EB=BC，∠ABD+∠EBD=∠EBC+EBD，
故△ABE≌△DBC（SAS）；
所以AE=DC，∠BAE=∠BDC，
AB=BD，
∠ABD=∠DBE=60°
∴△ABF≌△DBG，
∴BF=BG．

（2）AE=DC仍成立，理由同上，
因为始终有△ABE≌△DBC（SAS）；
而BF=BG不成立．

（3）FG∥AC．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

Answer 3

因为：三角形abd和三角形bce是相边三角形
所以：ab=bd，bc=be
又因为：角abe=角dbc=120度
所以：三角形abe和三角形dbc全等（sas）所以：角eab=角cdb
又因为：角abm=角dbn
所以：三角形abm和三角形dbn全等（asa）所以：bm=bn
因为：角mbn=60度所以：三角形bmn是等边三角形

Answer 4

1、证明：
∵等边△ABD
∴AB＝BD，∠ABD＝60
∵等边△BCE
∴BC＝BE，∠CBE＝60
∴∠DBE＝180-∠ABD-∠CBE＝60
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝120, ∠DBC＝∠CBE+∠DBE＝120
∴∠ABE＝∠DBC
∴△ABE全等于△DBC （SAS）
∴AE＝DC，∠BAE＝∠BDC
又∵∠ABC＝∠DBE＝60
∴△ABF全等于△DBG
∴BF＝BG
2、AE＝DC成立，BF＝BG不成立
证明：
∵等边△ABD
∴AB＝BD，∠ABD＝60
∵等边△BCE
∴BC＝BE，∠CBE＝60
∴∠DBE＝180-∠ABD-∠CBE＝60
∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝60+∠DBE, ∠DBC＝∠CBE+∠DBE＝60+∠DBE
∴∠ABE＝∠DBC
∴△ABE全等于△DBC （SAS）
∴AE＝DC
3、△BFG为等边三角形
证明：
∵BF＝BG，∠DBE＝60
∴等边△BFG