Question

如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个

Answer 1

解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°．
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°．
∴∠ADE=∠BEC．
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BCE．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．
连接FC，DF，
∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）
②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．

（3）第一种情况：
∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC．
方法一：
延长DE，交CB的延长线于点F，
说明DE=EF，说明AE=BE．
过点E作EF⊥DC，垂足为F．
因为∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，
所以AE=EF，EF=BE．所以AE=BE．
方法二：
过点E作EF⊥DC，垂足为F．
因为∠ADE=∠CDE，∠BCE=∠DCE，
所以AE=EF，EF=BE．所以AE=BE．
方法三：
第一种情况：
由△ADE∽△EDC可得DE／DC=AE／EC
即AE=DE•EC／DC
同理，由△BEC∽△EDC可得ECDC
=BE／ED
即BE=ED•EC／DC
所以AE=BE
第二种情况：
∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°
说明AE=1／2DE，BE=1／2CE，DE=1／2CE
﹙或说明BE=DE，AE=1／2DE﹚
所以AE=1／2BE
综上，AE=BE或AE=1／2BE．

Answer 2

（1）因为∠A=∠B=∠DEC=50°
所以∠ADE+∠DEA=130°
∠DEA+∠CEB=130°
所以∠ADE=∠CEB
又∠A=∠B
所以△ADE∽△BEC
即E是四边形ABCD的AB的边上的相似点