Question

已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx，且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0， ①求g(x)的解析式 ...

已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx，且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0，
①求g(x)的解析式
②设函数G(x)=f(x) x≤0
G(x)=g(x) x>0 若方程G(x)=a2有且仅有四个解，求a的范围

Answer 1

1
g'(x)=2bx+c/x
∵g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0
∴g(1)=1/2,且g'(1)=0
∴b=1/2,2b+c=0,c=-1
∴g(x)=1/2x^2-lnx
2
x>0时，G(x)=1/2x^2-lnx
G'(x)=g'(x)=x-1/x=(x^2-1)/x=(x+1)(x-1)/x
0<x<1,G'(x)<0,G(x)递减
x>1,G('x)>0,G(x)递增
∴x=1时，G(x)取得极小值G(1)=1/2
x≤0时，G(x)=ax^3-3ax
G'(x)=3ax^2-3a=3a(x+1)(x-1)

1) a>0时，x<-1,G'(x)<0,G(x)递减
-1<x≤0，G'(x)>0,G(x)递增
∴x=-1,G(x)取得极小值G(-1)=2a
若方程G(x)=a²有且仅有四个解
当 0<2a<1/2 ,即0<a<1/4时,a^2<1/16
不符合题意 （∵x>0时，G(x)极小值为1/2)
当2a≥1/2,即a≥1/4时，则需
a^2>2a且a^2>1/2 ==>a>2

2) 当a=0时，x<0时，G(x)=0不合题意

3)当a<0时，G(x)在（-∞，-1）上递增，在（-1，0]上递减
x=-1时，G(x)取得极大值g(-1)=2a<0,不合题意

综上所述，符合条件的a的取值范围是a>2