Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角

如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是菱形？为什么？
（3）△ABC进行怎样的变化才能使AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形？为什么？

Answer 1

∵EC平分∠ACB

∴∠1=∠2

又∵MN∥BD

∴∠2=∠3

∴EO=Co

∴Fo=CO（同理）

∴Eo=FO

Answer 2

因为CE，CF为角平分线，所以角BCE=角ECO，由平行有角BCE=角OCE，所以角ECO=角OCE，所以EO=OC，同样，OC=OF，所以EO=FO
AC的中点，因为由1有OE=OF，又AO=CO，所以AECF为平行四边形，又OC=OF，所以为菱形

追问

这样并不能证明他是菱形啊

Answer 3

1) MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
<OEC=<ECB=<OCE, <OFC=<FC?=<FCO
OE=OC, OF=FC
OE=OF
2) OA=OC时，四边形AECF是菱形

追问

请说明理由