Question

奥数题！！！高悬赏！！！在线等！！！

第一题：72/95,35/24,48/143,85/32,16/55这五个分数中有两个可以写成一个分数与与其倒数之差的形式。（例如：5/6=3/2-2/3)

第二题：有一种四位数，它与它的逆序四位数的和为9999，例如：1812+2187=9999.那么这样的四位数有多少个？

Answer 1

并没有说明是哪个阶段的奥数，极端怀疑是小学奥数.......好吧，暂时当做初中问题解决了。

第一题有问题，只有一个数可以写成，所以这里给出了严格证明；第二题，给出比较书面的方法。

第一题：a/b-b/a=(a^2-b^2)/ab
设m/n=(a^2-b^2)/ab，则将它展开成关于a的一元二次方程得到
na^2-mba-nb^2=0，这里用公式法解得（取正值）a=b*（m+sqr(m^2+4n^2))/2n
所以，要使分数 m/n 能分解成所要情况，必须有m^2+4n^2为完全平方数。
一一验证题目中所给数，只有48/143满足上述条件，所以只有它可以写为所要形式。
48/143=13/11-11/13

第二题：设四位数为abcd（为数字直观表示，数学中用上横杠表示）
题目中的意义为 1001a+110b+110c+1001d=9999
1001(a+d)+110(c+b)=9999
由于110（c+b）=9999-1001（a+d） 所以1001（a+d）的末位数只能为9（为了能被10
整除）， 故a+d=9，c+b=9
由于a和d不能取0，a可以取1~9，同时b用9-a确定；d可取0~9，同时c用9-d确定。
所以共有9*10=90个。

Answer 2

既然是奥数题，肯定不能去死算，那么怎么解决呢，哥以当年考奥数的经验教你：
（1）、首先我们看提示：a/b=c/d-d/c;而我们可知c、d必须为奇数，所以排除了第二个和第四个（就像10/12=6/4-4/6一样，显然不能出现偶数）；a=c²-d²=（c+d)(c-d)>（c-d)²，排除第一个；所以只剩下第三个和第五个；但是验证后，最后一个要么是数字出了问题，要么就是题目有问题，只有第三个符合。除非把16/55改成96/55；
（2）、设该数为abcd，那么另一个数为dcba
abcd=1000a+100b+10c+d
dcba=1000d+100c+10b+a
两式想加 abcd+dcba=1001(a+d)+110(b+c)
所以只需a+d=9;b+c=9; 而只有0+9，1+8，2+7，3+6，4+5五中情况；
第一位不能为零是前提，a、d不能出现0；所以最后组合下就是答案。总共：8*10*10*8=6400

Answer 3

第一题，这个数要表示成a/b-b/a=(a^2-b^2)/(ab)，所以a,b是分母的因数，分子是a,b的平方差。因此把分母表示成a*b的形式，然后慢慢分析。
95=1*95=19*5，但72不等于95^2-1^2,也不等于19^2-5^2；因此不合题意。
24=1*24=2*12=3*8=4*6，但35都不等于这些因数的平方差，因此不合题意。
143=1*143=11*13，而48=13^2-11^2=169-121,因此48/143符合题意。
32=1*32=2*16=4*8,85不等于这些因数的平方差，不符合题意。
55=1*55=5*11，16不等于这些因数的平方差，不合题意。

因此，只找到一个48/143=13/11-11/13符合题意。

第二题，要等于9，有0+9，1+8，2+7，3+6，4+5五种情况，而首尾不能出现0或9，
因此个位和千位有4种情况，即8个不同的数；十位和百位有10个不同数字；
总共有8*10*10*8=6400个数。

Answer 4

1、其中只有48/143=13/11-11/13符合条件。
2、设这个四位数是ABCD，则ABCD+DCBA=9999，
当A=1时，D=8，B+C=0+9=1+8=2+7=3+6=4+5=5+4=6+3=7+2=8+1=9+0，共有10个，
当A=2时，D=7，B+C同样有10个，同理当A=3、4、5、6、7、8时，也各有10个，总共有80个这样的四位数。

Answer 5

第一个 我只发现48/143=13/11-11/13；我没猜错的话你最后一个应该设96/55吧，这样96/55=11/5-5/11
第二个，如果说前提是它本身及其逆序都得是四位数的话（比方说9810不行）那就有80个