Question

已知：如图CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，在CE的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作BG⊥AP于点G，并交CP于D

求证：AE*EB=ED*EP

Answer 1

∵AE⊥DE、AG⊥DG，∴A、G、D、E共圆，∴由割线定理，有：AB×EB＝BG×BD，
∴（AE＋EB）×EB＝（GD＋BD）×BD，∴AE×EB＋EB^2＝GD×BD＋BD^2。······①
∵BE⊥DE，∴由勾股定理，有：BD^2＝EB^2＋ED^2。······②
①＋②，得：AE×EB＝GD×BD＋ED^2。······③
∵EB⊥EP、GB⊥GP，∴B、E、G、P共圆，∴由相交弦定理，有：GD×BD＝PD×ED。······④
③＋④，得：AE×EB＝PD×ED＋ED^2＝ED（PD＋ED）＝ED×EP。
即：AE×EB＝ED×EP。