Question

帮帮忙啊！不会做！郁闷！

设x1＞a＞0,且xn+1＝2次根号下axn（n＝1,2,…）,证明limn→∞xn存在，并求此极限值。
看的不太懂

Answer 1

（1）先证xn>a（数学归纳法）
x1>a
假设xk>a，则
x（k+1)=√（axk）>√(aa）=a
所以对于一切n，均有xn>a
（2）再证极限存在
x（n+1）-xn=√（axn）-√[ax（n-1）]
=√a[√xn-√x（n-1）]
分子有理化：
=√a[xn-x(n-1）]/[√xn+√x(n-1)]
<√a[xn-x(n-1）]/(√a+√a)
=1/2*[xn-x(n-1）]
继续用下去
…………
<(1/2)^(n-1)(x2-x1)
因为级数Σ(1/2)^(n-1)(x2-x1)收敛，
所以级数Σx（n+1)-xn收敛
即x2-x1+x3-x2+……+xn-x（n-1）=xn-x1有极限
所以xn有极限
（3）求极限
设极限为A
对于xn+1=√（axn）两边取极限得：
A=√aA
解得
A=a

√是指根号啊
哪儿不懂说出来吧