Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°．

如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的动点，满足∠EAF＝45°．
（1）求证：BE＋DF＝EF；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．

Answer 1

如图，⑴，⊿ADF绕A顺时针旋转90º，到达⊿ABG  ∠GAE＝90º-45º＝45º＝∠FAE

∴⊿GAE≌⊿FAE  EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF

⑵ 设EC＝a, CF＝b,则⊿CEF周长＝BC+DC＝2 ﹙从⑴﹚

S⊿CEF＝S＝﹙1/2﹚r×2＝r ﹙r为△CEF内切圆半径﹚  

a+b+√ ﹙a²+b²﹚＝2   得到ab-2﹙a+b﹚+2＝0 或者﹙2-a﹚﹙2-b﹚＝2

∵﹙2-a﹚﹙2-b﹚＝2﹙常数﹚  ∴当2-a＝2-b时  ﹙2-a﹚+﹙2-b﹚＝4-﹙a+b﹚最小。

此时a＝b＝2-√2   a+b最大，从而ab＝2﹙a+b﹚-2＝6-4√2最大，

r＝S＝ab/2＝3-2√2最大,