在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图1中证明CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB... (1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
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飘渺的绿梦
2012-04-23 · TA获得超过3.5万个赞
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第一个问题:
∵ABCD是平行四边形,∴AB∥FC、AD∥EC,∴∠BAE=∠CFE、∠DAE=∠CEF,
又∠BAE=∠DAE,∴∠CFE=∠DEF,∴CE=CF。

第二个问题:
∵ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABE=∠DCE=90°、AB=DC。
∵∠BAD=90°、∠BAE=∠DAE,∴∠BAE=45°,又∠ABE=90°,∴AB=BE、∠AEB=45°。
∵∠DCE=90°,∴∠ECF=90°,又由第一个问题的结论,有:CE=CF,而EG=FG,
∴∠ECG=45°、EG=CG。

由∠AEB=45°,得:∠BEG=135°。 由∠DCE=90°、∠ECG=45°,得:∠DCG=135°。
∴∠BEG=∠DCG。
由AB=DC、AB=BE,得:BE=DC,结合证得的EG=CG、∠BEG=∠DCG,得:
△BEG≌△DCG,∴∠CBG=∠CDG,∴B、G、C、D共圆,∴∠BDG=∠ECG=45°。

第三个问题
∵ABCD是平行四边形,∴AB=DC、AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE,又∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,又AB=DC,∴BE=DC。

∵AD∥BC、∠ADC=120°,∴∠ECF=120°。
∵FG=CE、FG∥CE,∴ECFG是平行四边形,而由第一个问题的结论,有:CE=CF,
∴平行四边形ECFG是菱形,又∠ECF=120°,∴△ECG、△FCG都是等边三角形,
∴EG=CG、∠BCG=∠CEG=∠FCG=60°,∴∠BEG=∠DCG=120°。

由BE=DC、EG=CG、∠BEG=∠DCG,得:△BEG≌△DCG,∴∠CBG=∠CDG,
∴B、G、C、D共圆,∴∠BDG=∠BCG=60°。
匿名用户
2014-05-31
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1)证明:如图1,∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
(2)解:连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°,
∴四边形ABCD为矩形,
∵AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF=45°,
∵∠DCB=90°,DF∥AB,
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形,
∵G为EF中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∴△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,
∵BE=DC,
∴∠CEF=∠GCF=45°,
∴∠BEG=∠DCG=135°
∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°,
又∵∠DGC=∠BGA,∴∠BGE+∠DGE=90°,
∴△DGB为等腰直角三角形,∴∠BDG=45°,
(3)解:延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形
∴∠ABC=120°,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH
∴BH=GF ∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
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