Question

在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥FC、AD∥EC，∴∠BAE＝∠CFE、∠DAE＝∠CEF，
又∠BAE＝∠DAE，∴∠CFE＝∠DEF，∴CE＝CF。

第二个问题：
∵ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABE＝∠DCE＝90°、AB＝DC。
∵∠BAD＝90°、∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝45°，又∠ABE＝90°，∴AB＝BE、∠AEB＝45°。
∵∠DCE＝90°，∴∠ECF＝90°，又由第一个问题的结论，有：CE＝CF，而EG＝FG，
∴∠ECG＝45°、EG＝CG。

由∠AEB＝45°，得：∠BEG＝135°。　由∠DCE＝90°、∠ECG＝45°，得：∠DCG＝135°。
∴∠BEG＝∠DCG。
由AB＝DC、AB＝BE，得：BE＝DC，结合证得的EG＝CG、∠BEG＝∠DCG，得：
△BEG≌△DCG，∴∠CBG＝∠CDG，∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠ECG＝45°。

第三个问题
∵ABCD是平行四边形，∴AB＝DC、AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，又∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，又AB＝DC，∴BE＝DC。

∵AD∥BC、∠ADC＝120°，∴∠ECF＝120°。
∵FG＝CE、FG∥CE，∴ECFG是平行四边形，而由第一个问题的结论，有：CE＝CF，
∴平行四边形ECFG是菱形，又∠ECF＝120°，∴△ECG、△FCG都是等边三角形，
∴EG＝CG、∠BCG＝∠CEG＝∠FCG＝60°，∴∠BEG＝∠DCG＝120°。

由BE＝DC、EG＝CG、∠BEG＝∠DCG，得：△BEG≌△DCG，∴∠CBG＝∠CDG，
∴B、G、C、D共圆，∴∠BDG＝∠BCG＝60°。

Answer 2

1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，
∴∠DFA=45°，∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，
∵BE=DC，
∴∠CEF=∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°
∴△BEG≌△DCG，
∴BG=DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形
∴∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH
∴BH=GF ∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°