Question

高中数学题（导数的应用）

已知f(x)= (2x-a)/(x2+2) (x∈R)在区间[－1，1]上是增函数。（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=1/x的两个非零实根为x1、x2。试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

图片是书写过程。

1.f(x)=(2x-a)/(x^2+2) 定义(x∈R)

由求导公式（u/v）^'=(u^' v-uv^')/v^2 得出：

f'(x)=(-2x^2+2ax+4)/〖（x^2+2）〗^2 

当-1=<x<=1时f’(x)>0，即：

g(x)=-2x^2+2ax+4>0

提示到这里。

2.题目不清楚，“对任意a∈A及t”还是“对任意m∈A及t”

Answer 2

（Ⅰ）直接求出函数的导函数，转化成不等式恒成立问题解决即可；
（Ⅱ）利用韦达定理先求出|x1-x2|，变为不等式恒成立问题，再构造函数利用函数的导数求最值即可解决．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4+2ax-2x2，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①
设φ（x）=x2-ax-2，
①⇔{φ(1)=1-a-2≤0φ(-1)=1+a-2≤0⇔-1≤a≤1，
∵对x∈[-1，1]，只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由4x+ax2-23x3=2x+13x3，得x=0，或x2-ax-2=0，
∵△=a2+8＞0
∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两非零实根，x1+x2=a，x1x2=-2，
从而|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=a2+8．
∵-1≤a≤1，∴|x1-x2|=a2+8≤3．
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立．②
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），
②⇔g（-1）=m2-m-2≥0且g（1）=m2+m-2≥0，
⇔m≥2或m≤-2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}．

Answer 3

解：（1）f(x)=(2x-a)/(x²+2) ；(x∈R)
f '(x)=(-2x²+2ax+4)/(x^2+2)²
当-1≤x≤1时f’(x) ≥ 0，即：-x²+ax+2 ≥ 0
当x = -1 时，-x²+ax+2 = 1- a ≥ 0 即：a ≤ 1
当 x= 1 时，-x²+ax+2 = 1+ a ≥ 0 即：a ≥ -1
即：集合 A = {a | -1 ≤ a ≤1 }
（2）原方程可化简为：2x²-ax = x² + 2 即：x² - ax - 2 =0
|x1-x2|² = (x1+x2)²-4x1x2 = a²+8
∴不存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥ | x1 - x2 | 对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立。