Question

24．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，． （1）求证：直线PB是⊙

Answer 1

PB是⊙O的切线吗？
差一个条件。B点位置不能确定。

追问

如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D， .
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值

追答

1、条件不够，若增加BC//OP，则可证明。
∵BC//OP。
∴〈POA=〈BCO，（同位角相等）
∵OB=OC=R，
∴△OBC是等腰△，
∴〈OCB=〈OBC，
∴〈POA=〈POB，
∵OP=OP，（公用边），
OB=OA=R，
∴△POB≌△POA，
∴〈PBO=〈PAO，
∵PA是圆切线，
∴〈OAP=90°，
∴〈OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是圆O的切线。
2、也是条件不够，
若增加条件，B是PD的中点，则可以作。
连结 AB，
∵〈DAP=90°，
∴△APD是RT△，
∴AB是斜边上的中线，
∴AB=BD=BP，（RT△斜边上中线是斜边的一半），
∵PA、PB均是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=AB，
∴△PAB是正△，
∴〈PBA=60°，
∵〈BCA=〈ABP，（同弧圆周角和弦切角相等），
∴〈BCA=60°，
∴cos<BCA=1/2.