Question

在三角形ABC中 角A为锐角 记角ABC所对的边分别为a b c 设向量m=(cosA sinA) n=(c...

在三角形ABC中 角A为锐角 记角ABC所对的边分别为a b c 设向量m=(cosA sinA) n=(cosA -sinA) 且m与n的夹角为π/3
(1)求m
(1)求mXn值和角A大小
（2）若a=√7 c=√3 求三角形面积S

Answer 1

mXn=(cosA sinA) (cosA -sinA)=(cosA)²-(sinA)²=cos2A
|m|=1,|n|=1
cos<m,n>=mXn/|m||n|=cos2A
cosπ/3=cos2A
A=π/6
(2)
a²=b²+c²-2bccosA
7=b²+3-3b
b²-3b-4=0
b=4
S=1/2*bcsinA=1/2*4*√3*√3/2=3

Answer 2

解：∵m=(cosA sinA) n=(cosA -sinA)
∴|m|=√(cos²A+sin²A）=1，|n|=√[cos²A+（-sinA)²]=1
∵mn=|m||n|cos<m,n>
∴cos<m,n>=mn/(|m||n|)=mn=(cosA, sinA) (cosA, -sinA) =cos²A-sin²A
又∵m与n的夹角为π/3
∴cos<m,n>=cosπ/3=1/2
∴cos²A-sin²A=1/2
又∵sin²A+cos²A=1
解得sin²A=1/4,cos²A=3/4
又∵角A为锐角
∴sinA=1/2,cosA=√3/2
∴m=(cosA ，sinA)=(√3/2,1/2)
n=(cosA， -sinA)=(√3/2,-1/2)
补充：（1）mn=(cosA, sinA) (cosA, -sinA) =cos²A-sin²A=(√3/2)²-（1/2）²=1/2
∵cosA=√3/2∴A=30°
（2）由正弦定理a/sinA=c/sinC得
sinC=csinA/a=√3*sin30°/√7=√21/14
∴cosC=√（1-sin²C）=√[1-（√21/14）²]=5√7/14
∴sinB=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=sin30°cosC+cos30°sinC
=(1/2)(5√7/14)+(√3/2)(√21/14)
=2√7/7
∴三角形面积S=（1/2)acsinB=(1/2)√7√3(2√7/7)=√3

Answer 3

（1）mn=(cosA, sinA) (cosA, -sinA) =cos²A-sin²A=(√3/2)²-（1/2）²=1/2
∵cosA=√3/2∴A=30°
（2）由正弦定理a/sinA=c/sinC得
sinC=csinA/a=√3*sin30°/√7=√21/14
∴cosC=√（1-sin²C）=√[1-（√21/14）²]=5√7/14
∴sinB=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=sin30°cosC+cos30°sinC
=(1/2)(5√7/14)+(√3/2)(√21/14)
=2√7/7
∴三角形面积S=（1/2)acsinB=(1/2)√7√3(2√7/7)=√3