Question

已知函数f(x)=lnx-1/2ax^2,a€R (1)求函数f(x)的单调区间

(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由

Answer 1

对f（x）进行求导 f'（x）=1/x-2x ，
当f'（x）=0时 ，1/x-2x=0，解得x=±（根号2）/2，
当x<-(根号2)/2时：f'（x）>0 函数F(x)为单调增 ，
-(根号2)/2<=x=<根号2）/2 ，f'（x）<0,F(x)为单调减函数，
f'（x）>根号2）/2时，f（x）<0，F（x）为增函数

第二题：
当x=-(根号2）/2时 函数有最大值
要使

Answer 2

f(x)=lnx-1/2ax^2,(x>0)
f'(x)=1/x-ax=(1-ax^2)/x
(1)a=<0时,f'(x)恒>0,则有单调增区间是(0,+无穷)
(2)a>0时,f'(x)>0时有:1-ax^2>0,ax^2<1,x^2<1/a,得到0<x<根号(1/a),即单调增区间是(0,根号(1/a))
f'(x)<0时有:x^2>1/a,x>根号(1/a),即单调减区间是(根号(1/a),+无穷)
2.
由(1)得到,当a>0时,f(x)有极大值,是f(根号1/a)
即有f(根号1/a)=ln根号(1/a)-1/2a*1/a>0
1/2ln(1/a)>1/2
-lna>1
lna<-1
0<a<e^(-1)
即a的范围是0<a<1/e.