Question

四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，E,F分别在棱BB1，DD1上，且AF平...

四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，E,F分别在棱BB1，DD1上，且AF平行EC1（1）求证：AE平行FC1（2）若AA1垂直平面ABCD，四边形AEC1F是边长根号6的正方形，且BE=1，DF=2，求线段CC1的长，并证明：AC垂直EC1

Answer 1

1、∵AF//EC1，

∴A、E、C1、F四点在同一平面内，

∵平面ABB1A1//平面DCC1D1，

∵平面AEC1F∩平面ABB1A1=AE，

∵平面AEC1F∩平面DCC1D1=FC1，

∴AE//FC1，（若两平行平面和第三平面相交，则二交线平行）。

2、∵AA1⊥平面ABCD，

∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，

AE=EC1=FC1=AF=√6，

△ABE是RT△，

根据勾股定理，AB=√（6-1）=√5，

同理AD=√（6-4）=√2，

在平面FDBE上作EG⊥FD，

则四边形DBEG是矩形，DG=BE=1，

FG=2-1=1，EF和AC1是正方形对角线为√6*√2=2√3，

根据勾股定理，EG=√（12-1）=√11，

BD=EG=√11，

注意底边四边形不是矩形，

在△ABD中根据余弦定理，

cos<DAB=-√10/5，

cos<ABC=-cos<DAB=√10/5,

在△ABC中，根据余弦定理，

∴AC=√（5+2-2*√5*√2*√10/5）=√3，

在△ACC1中，∵CC1⊥平面ABCD，

∴△ACC1是RT△，

根据勾股定理，

CC1=√（AC1^2-AC^2)=√（12-3）=3，

∴CC1=3，

在△ABC中，AB^2=5,

AC^2+BC^2=3+2=5,

∴AC^2+BC^2=AB^2,

∴根据勾股定理逆定理，

△ABC是RT△，

∴〈ACB=90°，

AC⊥BC，

∵CC1⊥平面ABCD， 

AC∈平面ABCD∴AC⊥CC1，

∵CC1∩BC=C，

∴AC⊥平面BCC1B1，

∵EC1∈平面BCC1B1，

∴AC⊥EC1，证毕。图稍侯。