Question

已知函数f(x)=lnx- 1/2ax^2+x，a属于R

求函数f(x)的单调区间

Answer 1

f'(x)=1/x-ax+1=(-ax^2+x+1)/x
a=0时，f'(x)=(x+1)/x>0恒成立，
f(x)递增区间为定义域(0,+∞)
a<0时，t=-ax^2+x+1为开口朝上的抛物线
对称轴 x=1/(2a)<0, x=0,t=1
x>0，t>1>0恒成立，f(x) 当x>0时，递增
a>0时，f'(x)>0,x> 0 即-ax^2+x+1>0 ,x>0
即ax^2-x-1<0 ===> 0< x< [1+√(1+4a)]/2
f'(x)<0,x>0 ==> x> [1+√(1+4a)]/2
综上所述
当a≤0时，f(x)递增区间为（0，+∞）

当a>0时，f(x)递增区间为（0， 1/2+√(1+4a) /2）
f(x)递减区间为 （ 1/2+√(1+4a) /2 ， +∞）

Answer 2

f'(x)=1/x-ax+1=(-ax^2+x+1)/x
a=0时，f'(x)=(x+1)/x>0恒成立，
f(x)递增区间为定义域(0,+∞)
a<0时，当b^2-4ac>0时,t=-ax^2+x+1为开口朝上的抛物线
对称轴 x=1/(2a)<0, x=0,t=1
x>0，t>1>0恒成立，f(x) 当x>0时，递增
当b^2-4ac=0或<0时，f(x) 当x>0时，递增
a>0时，f'(x)>0,x> 0 即-ax^2+x+1>0 ,x>0
即ax^2-x-1<0 ===> 0< x< [1+√(1+4a)]/2
f'(x)<0,x>0 ==> x> [1+√(1+4a)]/2
综上所述
当a≤0时，f(x)递增区间为（0，+∞）

当a>0时，f(x)递增区间为（0， 1/2+√(1+4a) /2a）
f(x)递减区间为 （ 1/2+√(1+4a) /2a ， +∞）