Question

二重积分被积函数如果是奇函数 为什么为0 体积不是不能抵消的吗？二重积分难道还分纯计算和算面积？

定积分奇函数 如果纯计算为0 算面积为2倍 二重积分有这一说法吗？

Answer 1

你这个问题是不恰当的，虽说被积函数是奇函数，如果它的积分区域不关于原点对称的话，那么定积分是不等于0的。
只有在被积函数是奇函数，且它的积分区域是关于原点对称的话，那么定积分是等于0的。
在二重积分中被积函数是关于x是奇函数，积分区域是关于y轴对称的，那么它的积分是0
如果二重积分中被积函数是关于y是奇函数，且积分区域是关于x轴对称的，那么它的积分是0.
你所说的二重积分表示的是体积，那是它的几何意义，规定当被积函数f(x,y)<0时，二重积分求得的体积是负的。

追问

那为什么定积分求 面积 如果奇函数 就是2倍而不是0呢 ，照你这么说就是正面积加负面积为0咯？可是正确的是2倍啊 是几何意义。 那二重几何意义时是2倍体积 正常运算时就是正面积和负面积抵消？ 这样分？

追答

因为面积是正的，而被积函数是奇函数的画，那么它的图像是关于原点对称的，那么负的部分的面积就等于正的部分的面积，所以是2倍。
如果是求定积分，它就是0， 它跟实际不同呀。
我所说的是当被积函数f(x,y)<0时，它的二重积分实际上是体积的相反数。
而单单求二重积分的话它就是等于0. 如果求体积的话就要是2倍。
定积分的几何意义表示体积的话你去看看书上它都是以被积函数为正的来说的。

追问

谢谢，（假设D是各种对称下，被积函数奇）如果是二重积分的计算 那么可以抵消 。如果是二重积分的应用 求体积 。 比如应用题 那么就是2倍 是这样吗 我纠结的是这个。

追答

你要看D关于y轴对称，又关于x轴对称的情况，有时求体积就是4倍的第一象限的体积
如果只是关于y轴对称，那么它的体积就是2倍的第一象限与第四象限的体积。

Answer 2

1.f(x)为奇函数在[-a,a]的定积分为0
面积=f(x)的绝对值在[-a,a]的定积分
2.二重积分利用对称性计算：被积函数关于x是奇函数，在关于y轴对称的区域上积分为0；
在这个区域上的体积，也是被积函数的绝对值的积分