已知如图所示,△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,外角平分线交于点Q。。。

已知如图所示,△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,外角平分线交于点Q,∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P,求∠BOC,∠P,∠Q分别于∠A的数... 已知如图所示,△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,外角平分线交于点Q,∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P,求∠BOC,∠P,∠Q分别于∠A的数量关系。 求全过程!!!急!!! 展开
飘渺的绿梦
2012-04-24 · TA获得超过3.5万个赞
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第一个问题:
由三角形内角和定理,有:∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴2∠BOC+2∠OBC+2∠OCB=360°,又∠ABC=2∠OBC、∠ACB=2∠OCB,
∴2∠BOC+∠ABC+∠ACB=360°。······①
再由三角形内角和定理,有:∠A+∠ABC+∠ACB=180°。······②
①-②,得:2∠BOC-∠A=180°, ∴∠BOC=90°+(1/2)∠A。

第二个问题:
由三角形外角定理,有:∠BOC=∠P+∠OCP=∠P+∠ACO+∠ACP,
∴2∠BOC=2∠P+2∠ACO+2∠ACP。······③
再由三角形外角定理,有:2∠ACP=∠A+∠ABC。······④
③+④,得:2∠BOC=2∠P+2∠ACO+∠A+∠ABC,而∠ACB=2∠ACO,
∴2∠BOC=2∠P+∠ABC+∠ACB+∠A······⑤
②代入到⑤中,得:2∠BOC=2∠P+180°, ∴∠BOC=90°+∠P,
结合第一个问题的结论,有:90°+(1/2)∠A=90°+∠P, ∴∠P=(1/2)∠A。

第三个问题:
∵∠CBQ=(1/2)(180°-∠ABC)、∠OBC=(1/2)∠ABC,
∴∠PBQ=∠CBQ+∠OBC=90°, ∴∠Q=90°-∠P=90°-(1/2)∠A。
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