Question

已知如图所示,△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，外角平分线交于点Q。。。

已知如图所示,△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，外角平分线交于点Q，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P，求∠BOC,∠P,∠Q分别于∠A的数量关系。 求全过程！！！急！！！

Answer 1

第一个问题：
由三角形内角和定理，有：∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°，
∴2∠BOC＋2∠OBC＋2∠OCB＝360°，又∠ABC＝2∠OBC、∠ACB＝2∠OCB，
∴2∠BOC＋∠ABC＋∠ACB＝360°。······①
再由三角形内角和定理，有：∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°。······②
①－②，得：2∠BOC－∠A＝180°，　∴∠BOC＝90°＋（1/2）∠A。

第二个问题：
由三角形外角定理，有：∠BOC＝∠P＋∠OCP＝∠P＋∠ACO＋∠ACP，
∴2∠BOC＝2∠P＋2∠ACO＋2∠ACP。······③
再由三角形外角定理，有：2∠ACP＝∠A＋∠ABC。······④
③＋④，得：2∠BOC＝2∠P＋2∠ACO＋∠A＋∠ABC，而∠ACB＝2∠ACO，
∴2∠BOC＝2∠P＋∠ABC＋∠ACB＋∠A······⑤
②代入到⑤中，得：2∠BOC＝2∠P＋180°，　∴∠BOC＝90°＋∠P，
结合第一个问题的结论，有：90°＋（1/2）∠A＝90°＋∠P，　∴∠P＝（1/2）∠A。

第三个问题：
∵∠CBQ＝（1/2）（180°－∠ABC）、∠OBC＝（1/2）∠ABC，
∴∠PBQ＝∠CBQ＋∠OBC＝90°，　∴∠Q＝90°－∠P＝90°－（1/2）∠A。