Question

求证(a+b+c)(a平方+b平方+c平方)>9abc

Answer 1

有个不等式：a+b+c≥3(abc)^（1/3） (a,b,c都是正数)
那么有：a²+b²+c²3(abc)^（2/3）
相乘即得答案

Answer 2

a+b+c>=3(abc)^1/3
a^2+b^2+c^2>=3(a^2b^2c^2)^1/3
两式相乘得
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>=3(a^2b^2c^2)^1/3*3(abc)^1/3
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>=9(a^3b^3c^3)^1/3
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>=9abc

Answer 3

（补充：若a、b、c无限定，则题目不等式本身未必成立，那么求证无意义）
求证： A、B、C∈R+，A^3＋B^3＋C^3≥3ABC.
证明：∵A^3＋B^3＋C^3－3ABC
＝[(A＋B＋C)^3－3A^2 B-3AB^2-3B^2 C-3BC^2-3C^2 A-3CA^2-6ABC]-3ABC
＝(A＋B＋C)^3－3(A^2 B+AB^2+B^2 C+BC^2+C^2 A+CA^2+3ABC)
＝(A＋B＋C)^3-3(A+B+C)(AB+BC+CA)
＝(A+B+C)[(A＋B＋C)^2-3(AB+BC+CA) ]
＝(A+B+C)[(A^2＋B^2＋C^2+2AB+2BC+2CA)-3(AB+BC+CA) ]
＝(A＋B＋C)(A^2＋B^2＋C^2－AB－BC－CA)
＝1/2 (A＋B＋C)[（A-B）^2+（B-C）^2+（C-A）^2 ]≥0
∴A^3＋B^3＋C^3≥3ABC.
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