Question

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，

且DE²=EF·EC，∠P=∠EDF
①CE·EB=EF·EP
②若CE：BE=3：2，DE=6，EF=4，求PA的长

Answer 1

因弦CD∥AP，∴∠P=∠ECD，△PAE∼△CDE

DE²=EF·EC，∠P=∠EDF
∴∠ECD=∠EDF，(EF/DE)=(DE/EC) ⇒ △DEF∼△CDE
∴△DEF∼△PAE，∴(DE/EP)=(EF/AE) ⇒ DE•AE=EF•EP
由相交弦定理,得：CE•EB=DE•AE
∴CE·EB=EF·EP

因CE：BE=3：2，DE=6，EF=4
∴CE=((DE^2)/EF)=9，BE=6，
∴AE=(CE•BE/DE)=9，EP=(DE•AE/EF)=(27/2)

∴PB=EP - BE=(27/2) - 6=(15/2)，PC=PE+EC=(45/2)

∴PA=√(PB•PC)=√((15/2)•(45/2))=(15√(3)/2)