Question

抛物线y^2=4x的焦点为F.A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上,且存在实数λ,使向量AF+λ向量BF=0,

抛物线y^2=4x的焦点为F.A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y2<0)在抛物线上,且存在实数λ,使向量AF+λ向量BF=0,向量AB的模为25/4.
(1)求直线AB的方程
(2)求三角形AOB的外接圆方程

Answer 1

首先向量AF+λ向量BF=0，向量AF=-λ向量BF，A,F,B共线 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2,y1>0,y20,且A在第一象限，B在第四象限 由上就可确定位置，做出简图

，设AB斜率为k 于是AB：y=k(x-1){点斜式} 接下来转化模AB 做准线L：x=-1,作AA'⊥L于A’，BB'⊥L于B’ 模AB=模AF+模FB=模AA’+模BB’=x1+x2+2 (1)｛抛物线定义｝ （注：模AB也可用弦长公式：模AB=(√1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]=(√1+1/k^2)*√[(y1+y2)^2-4y1y2）]) 然后就是联立y^2=4x，y=k(x-1)，消去y， [k(x-1)]^2=4x,即k^2*x^2-(2k^2+4)x+k^2=0 由韦达定理：x1+x2=(2k^2+4)/k^2 代入（1），模AB=[(2k^2+4)/k^2]+2=25/4 又k>0，所以k=4/3,所以AB；4x-3y-4=0 如果引入圆锥曲线焦点弦长公式，本题就相当简单 r=2ep/[1-e^2（cosа）^2],其中e:离心率，а：弦的倾斜角，p；焦准距 自己试试吧 (2)设圆C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(*)，再解出A(4,4),B(1/4,-1) 这一问思路较多，不妨提供几种供参考 1.把A,B,O三点坐标代(*)入求解 2.求出OB,AO垂直平分线的方程，联立求出圆心坐标（a,b）,再由（*）代入O点坐标解r 3.用到角公式求tan∠AOB,进而求sin∠AOB，由正弦定理2r=模AB/sin∠AOB,在代O,A坐标到（*）式解a,b 4.由圆过圆心设圆C：x^2+y^2+Dx+Ey=0,代A,B坐标求解 我用方法1做的,可得： a^2+b^2=r^2（1） (4-a)^2+(4-b)^2=r^2(2) (1/4-a)^2+(-1-b)^2=r^2(3) 由（1）,(2)消r，a^2+b^2=(4-a)^2+(4-b)^2 即：a+b=4(4) 由（1）,(3)消r，a^2+b^2=(1/4-a)^2+(-1-b)^2 即：32b-8a+17=0(5) 由（4），（5）得：a=29/8,b=3/8 由（1），r^2=425/32 所以圆C:(x-29/8)^2+(y-3/8)^2=425/32