Question

高中竞赛数学，

正实数x，y，z满足x^2+y^2+z^2=1,求1/x^2+1/xy^2+1/xz^2的最小值
回答了之后请说明一下不等式倒数之间的有关思想

Answer 1

这个是利用1的特殊性用前面的式子乘以后面的式子

再利用a+b>=2根号（a*b）
(x^2+y^2+z^2)（1/x^2+1/y^2+z^2）=3 + x^2/y^2 + y^2/x^2 + x^2/z^2 + z^2/x^2 + y^2/z^2 + z^2/y^2=3+2+2+2=9

Answer 2

x^2+y^2+z^2=1,
1/x^2=(x^2+y^2+z^2)/x^2=1+(y/x)^2+(z/x)^2
1/xy^2=(x^2+y^2+z^2)/xy^2=x/y^2+1/x+z^2/xy^2;
1/xz^2跟上面一样变形再用均值不等式做

Answer 3

原式等于（x^2+y^2+z^2）/x^2+（x^2+y^2+z^2）/y^2+（x^2+y^2+z^2）/z^2
=3+(y^2/x^2+x^2/y^2)+(z^2/x^2+x^2/z^2)+(z^2/y^2+y^2/z^2)
>=3+2+2+2
=9(当且仅当 x^2=y^2=z^2时成立)