Question

一道高数题目，求帮助

求抛物面z=1+x^2+y^2的一个切平面，使得他与该抛物面和圆柱面x^2+y^2-2x=0,围城体积最小，求切面方程，并求出最小体积

Answer 1

过（a，b，1+a^2+b^2)点的法向量是（2a，2b，--1），切平面方程为
2a(x--a)+2b(y--b)--(z--1--a^2--b^2)=0，所围成区域的体积为
二重积分（D）(1+x^2+y^2--【2a(x--a)+2b(y--b)+1+a^2+b^2】)dxdy，其中D={(x,y):x^2+y^2<=2x}
=二重积分（D）【(x--a)^2+(y--b)^2】dxdy
=pi(a^2+b^2--2a+3/2)。（可能我算的不对，你再计算一下吧）
因此当a=1，b=0时，体积最小，此时切平面方程为2(x--1)--z+2=0，最小体积为
pi/2。

追问

谢谢，我已经明白了，而且你答案很正确，厉害！