Question

已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3

Answer 1

(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
已知不等式a^2+b^2≥2ab；b^2+c^2≥2bc；a^2+c^2≥2ac
代入上式：
3a^2+3b^2+3c^2≥1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3

Answer 2

因为：(a-b)²≥0
展开得：a²+b²≥2ab
同理：a²+c²≥2ac；b²+c²≥2bc
三式相加得：2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
则：a²+b²+c²≥ab+ac+bc

a+b+c=1
两边平方得：
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
a²+b²+c²=1-2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc
3(ab+ac+bc)≥1
ab+ac+bc≥1/3
则：a²+b²+c²≥ab+ac+bc≥1/3

Answer 3

即证明
3（a^2+b^2+c^2）>=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
即证明
2(a^2+b^2+c^2）>=2(ab+ac+bc)
即证明
(a^2+b^2-2ab) +(a^2+c^2-2ac）+(b^2+c^2-2bc)>=0
即证明
(a-b)^2+(a-b)^2+(a-b)^2>=0
所以成立，当且仅当a=b=c时等号成立

Answer 4

证明：
由题设及柯西不等式可得：
(1²+1²+1²)(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²
即a²+b²+c²≥1/3

Answer 5

a+b+c=1
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1
a²+b²+c²=1-(2ab+2ac+2bc)>=1-(a²+b²+a²+c²+b²+c²)
从而有:a^2+b^2+c^2≥1/3