Question

已知a>0,b>0,且a+b+c=1 已知a>0,b>0,c,且a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3

Answer 1

如果是高二的学生 你学了柯西不等式 这题只需一步
方法一：(a²+b²+c²)(1²+1²+1²)≥(1×a+1×b+1×c)²=1
∴a²+b²+c²≥1/3
如果还没学到柯西不等式这一节 可以用均值代换做
方法二：设a=1/3 +m b=1/3 +n c=1/3 +s 其中m+n+s=0
a²+b²+c²=m²+n²+s² +(2/3)*(m+n+s)+(1/3)
=m²+n²+s² +(1/3)≥1/3
当且仅当m=n=s=0时 等号成立

Answer 2

a+b+c=1
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=1
a²+b²+c²=1-(2ab+2ac+2bc)>=1-(a²+b²+a²+c²+b²+c²)
从而有:a^2+b^2+c^2≥1/3