Question

已知f（x）＝㏒（a）（x） ， （a＞0且a≠1）,如果对于任意的x∈［1/3，2］都有|f（x）|≤1成立，求a ...

已知f（x）＝㏒（a）（x） ， （a＞0且a≠1）,如果对于任意的x∈［1/3，2］都有|f（x）|≤1成立，求a 的取值范围！

Answer 1

a＞1时，|f（x）|=f（x）=logax在[3，+∞）上为增函数和0＜a＜1时f（x）|=-f（x）=-logax在[3，+∞）上为增函数两种情况进行讨论．
解：当a＞1时，对于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0．
所以，|f（x）|=f（x），而f（x）=logax在[3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈[3，+∞），有f（x）>=loga3．
因此，要使|f（x）|<=1对于任意x∈[3，+∞）都成立．
只要loga3<=1=logaa即可，∴a>=3．

当0＜a＜1时，对于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，
∴|f（x）|=-f（x）．
∵f（x）=logax在[3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在[3，+∞）上为增函数．
∴对于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|=-f（x）≥-loga3．
因此，要使|f（x）|<=1对于任意x∈[3，+∞）都成立，
只要-loga3<=1成立即可，
∴loga3>=-1=loga 1/a，即 1/a>=3，∴ 0<a<=1/3．

综上，使|f（x）|<=1对任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范围是：（0，1/3]∪[3 ，+∞）．

Answer 2

对于任意的x∈［1/3，2］都有|f（x）|≤1成立，
即有-1<=f(x)<=1,即-1<=loga(x)<=1
(i)a>1,则有f(x)是递增函数,则有a^(-1)<=x<=a
故有1/a<=1/3,2<=a
即有a>=3
(ii)0<a<1,则有f(x)是递减函数,则有a<=x<=a^(-1)
故有:a<=1/3,2<=1/a
即有:0<a<=1/3.
综上所述,a 的取值范围是0<a<=1/3或a>=3.

Answer 3

f（x）＝㏒（a）（x） 函数是单调函数 在区间的端点处取得最值
x∈［1/3，2］
a>1时
最大值为 loga[2]≤1
最小值为 loga[1/3]≥-1
得 a≥3
0<a<1时
最大值为 loga[1/3]≤1
最小值为 loga[2]≥-1
得 a≤1/3

综上 a≥3 或 0<a≤1/3

Answer 4

|f（x）|≤1成立,即在x∈［1/3，2］上-1≤f（x）≤1，㏒（a）（1/3）≥-1，解得a≤3，㏒（a）（2）≤1，解得a≥2，综合可知2≤a≤3

Answer 5

只需先分类讨论a>1与0<a<1再分别解不等式就行