Question

微积分 微分方程问题。验证y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解。

验证y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解。并求方程满足初始条件【y（0）=0，y‘（0）=1】的特解。

Answer 1

1.验证y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解。
对比y=c1 *e^(λ1x)+c2*e^(λ2x)
很明显在这里 λ1=1，λ2=2 只要验证下它们是否是特征方程λ^2-3λ+2=0的根就行了。
很明显 (λ1)^2-3λ1+2=1-3+2=0
(λ2)^2-3λ2+2=4-6+2=0
所以y=c1 *e^x+c2*e^(2x) （c1,c2是任意常数）为二阶微分方程y''-3y'+2y=0的通解
2.求方程满足初始条件【y（0）=0，y‘（0）=1】的特解。
y‘（x）=c1 *e^x+2c2*e^(2x)
y（0）=c1+c2=0
y‘（0）=c1+2c2=1
解得： c1=-1，c2=1
特解：y=- e^x+e^(2x)

Answer 2

c1,c2是任意常数，所以只要y=c1 *e^x+c2*e^(2x) 满足原二阶微分方程，则它就是原二阶微分方程的通解代入验证即可。
求特解就是求满足y（0）=0，y‘（0）=1的c1,c2，也就是利用y（0）=0，y‘（0）=1求c1,c2即可