Question

已知a为R,函数f(x)=x^2(x-a). 求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.

已知a为R,函数f(x)=x^2(x-a).求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.

Answer 1

f(x)=x^2(x-a).
f'(x)=2x(x-a)+x^2=3x^2-2ax=3x(x-2a/3)
当2a/3≤1即a≤3/2时，
x∈[1,2],f'(x)≥0恒成立，f(x)递增
∴f(x)min=f(1)=1-a
当1<2a/3<2即3/2<a<3时
x∈(1,2a/3)时，f'(x)<0,f(x)递减
x∈(2a/3,2]时，f'(x)>0,f(x)递增
∴f(x)min=f(2a/3)=4a^2/9*(-a/3)=-4a^3/27
当2a/3≥2，即a≥3时，
x∈【1，2】f'(x)<0恒成立，f(x)递减
∴f(x)min=f(2)=4(2-a)