Question

已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不重合），

过点p作PE⊥PB,PE交射线DC于E,过点E作EF⊥AC,垂足为点F
（1）当点E落在线段CD上
①求证：PB=PE
②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生改变？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由。
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，请在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述 （1） 中的结论是否仍然成立，是说明理由。
（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，是说明理由。
图

Answer 1

连接PD。
由三角形ADP与三角形ABP全等，PB＝PD，即角ABP＝角ADP。
原题证明PE＝PB的问题，实际转化为PE＝PD的问题。
角A为90度，角EPB也为90度。所以角DEP=角ADP
即三角形PDE是等腰三角形，PD＝PE＝PB，得证

Answer 2

（1）/①过点P作MN平行于AD交AB于点M，交D于CN证明三角形PMB全等于ENP（提示：BM=AB-AM.PN=MN-AP.）②联结OD证明三角形POB全等于三角形PFE得到PE=OB=2分之根号2

Answer 3

哥们。这题恐怕要提高悬赏。。

Answer 4

证明：从P作PM垂直BC于M,作PN垂直CD于N因为ABCD为正方形,所以∠BCD=90PM⊥BC,∠PMC=90；PN⊥CD,∠PNC=90因此四边形PMCN为矩形P、C都在正方形ABCD对角线上,因此PC平分∠MCN所以四边形PMCN为正方形,PM=PNPM⊥BC,PN⊥CD.所以∠MPN=90=∠BPE∠BPM=∠BPE-∠MPE,∠EPN=∠MPN-∠MPE所以∠BPM=∠EPN∠PMB=∠PNE=90所以△BPM≌△EPN,PE=PB

Answer 5

∵ABCD是正方形，∴AB＝AD、∠BAP＝∠DAP＝45°，又AP＝AP，∴△PAB≌△PAC，
∴∠ABP＝∠ADP、PB＝PD。
∵ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADE＝90°，又∠ABP＝∠ADP，∴∠PBC＝∠PDE。······①
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CE，又BP⊥PE，∴B、C、E、P共圆，∴∠PED＝∠PBC。······②
由①、②，得：∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，而PB＝PD，∴PB＝PE。