如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,且OA=OB.
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1)求b+c的值
2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,试求抛物线的解析式
3)在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,与抛物线交于点P,求点P的坐标
1)设B(0,c),A(-c,0)
把A点带入y=-x^2+bx+c
可得到b+c=1
2)点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,则可得到OA平行且等于BC,则C(c,c)。
带入y=-x^2+bx+c,再联立1)中的等式,可得到y=-x^2+0.5x+0.5
3)有点麻烦的方法。先求出直线PB的解析式。一点B已知,再求出OC的中点的这个点,因为△OBC为等腰直角三角形,三线合一。中点坐标为(1/4,1/4)。则直线PB:y=-x+1/2.,联立方程y=-x^2+0.5x+0.5,即可得知P点坐标。
2)若点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,试求抛物线的解析式
3)在(2)的条件下,作∠OBC的角平分线,与抛物线交于点P,求点P的坐标
1)设B(0,c),A(-c,0)
把A点带入y=-x^2+bx+c
可得到b+c=1
2)点C在抛物线上,且四边形OABC是平行四边形,则可得到OA平行且等于BC,则C(c,c)。
带入y=-x^2+bx+c,再联立1)中的等式,可得到y=-x^2+0.5x+0.5
3)有点麻烦的方法。先求出直线PB的解析式。一点B已知,再求出OC的中点的这个点,因为△OBC为等腰直角三角形,三线合一。中点坐标为(1/4,1/4)。则直线PB:y=-x+1/2.,联立方程y=-x^2+0.5x+0.5,即可得知P点坐标。
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解答:解:(1)把A(-1,0),C(0,3)代入y=-x2 bx c得:
-1-b c=0
c=3
,
解得:
b=2
c=3
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2 2x 3,
令y=0,即-x2 2x 3=0,
解得:x1=3,x2=-1(舍去),
∴点B的坐标是(3,0);
(2)①证明:可求得顶点D(1,4);OA=1,OC=OB=3,∠OCB=45°,
由勾股定理求得:CD=
2
,BC=3
2
.
∴
CD
CB
=
2
3
2
=
1
3
=
OA
OC
,
易知:∠DCy=45°,故∠DCB=90°=∠AOC,
∴△AOC∽△DCB.
②存在符合条件的点P有两个:P1(9,0)或P2(0,-
1
3
);
(3)若四边形QBQ′C为菱形,则QQ′垂直平分BC,∴点Q在线段BC的垂直平分线上,
∵OC=OB,
∴直线QQ’平分∠BOC,
即:直线QQ′的解析式为y=x,
∵点Q在抛物线y=-x2 2x 3上,
∴-x2 2x 3=x,
解得x=
1±
13
2
,
∴Q(
1
13
2
,
1
13
2
)或(
1-
13
2
,
1-
13
2
).
-1-b c=0
c=3
,
解得:
b=2
c=3
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2 2x 3,
令y=0,即-x2 2x 3=0,
解得:x1=3,x2=-1(舍去),
∴点B的坐标是(3,0);
(2)①证明:可求得顶点D(1,4);OA=1,OC=OB=3,∠OCB=45°,
由勾股定理求得:CD=
2
,BC=3
2
.
∴
CD
CB
=
2
3
2
=
1
3
=
OA
OC
,
易知:∠DCy=45°,故∠DCB=90°=∠AOC,
∴△AOC∽△DCB.
②存在符合条件的点P有两个:P1(9,0)或P2(0,-
1
3
);
(3)若四边形QBQ′C为菱形,则QQ′垂直平分BC,∴点Q在线段BC的垂直平分线上,
∵OC=OB,
∴直线QQ’平分∠BOC,
即:直线QQ′的解析式为y=x,
∵点Q在抛物线y=-x2 2x 3上,
∴-x2 2x 3=x,
解得x=
1±
13
2
,
∴Q(
1
13
2
,
1
13
2
)或(
1-
13
2
,
1-
13
2
).
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