Question

能否在8行8列方格表的每个方格中分别填上1、2或3，使每行没列以及每条对角线上的各个数的和互不相同？

能否在8行8列方格表的每个方格中分别填上1、2或3，使每行没列以及每条对角线上的各个数的和互不相同？

Answer 1

答案，不能

分析与解答：8行8列及两条对角线，共有18条“线”，每条“线”上都填有8个数字，要使各条“线”上的数字和均不相同，那么各条“线”上的数字和的取值情况应不少于18种。
下面我们来分析一下各条“线”上取不同和的情况有多少种。
如果某一条“线”上的8个数字都填上最小的数1，则可得到数字和的最小值8；如果某一条“线”上的8个空格中都填上最大的数3，那么可得到数字和的最大值24。
由于数字及数字和均为整数，所以从8到24共有17种不同的值。我们将数字和的17种不同的值看作17个抽屉，而将18条“线”看作18个元素。
根据抽屉原理一，将18个元素放入17个抽屉中，一定有一只抽屉中放入了至少两个元素。
即18条“线”上的数字和至少有两个相同，所以不可能使18条“线”上的各数字和互不相同。

抽屉原则，又叫狄利克雷原则，原则一：把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么一定至少有一个集合中，含有至少两个元素。原则二：把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里有m＋1个或者m＋1个以上的元素。抽屉原则是证明符合某种条件的对象存在性问题有力工具。应用抽屉原则解决问题的关键是如何构造抽屉。