Question

一道数学证明题。高中难度

求证a的a次方乘b的b次方乘c的c次方大于（abc）的(a+b+c)/3次方

Answer 1

二楼的答案很初等，喜欢。我简缺悄拍化一下，采纳他的吧。
同运颂号相乘大于0,所以(a-b)ln(a/b)＝(a-b)(lna -lnb)>=0，当且伏羡仅当a=b是等号成立
因此：
alna+blnb>=alnb+blna
alna+clnc>＝alnc+clna
blnb+clnc>＝blnc+clnb
alna+blnb+clnc=alna+blnb+clnc
上面四式相加后得到
3(alna+blnb+clnc)>＝(a+b+c)(lna+lnb+lnc)
也即
ln(a^a*b^b*c^c)>＝(a+b+c)/3 *ln(abc)=ln{(abc)^[(a+b+c)/3]}
因为y=lnx是增函数，所以
(a^a*b^b*c^c)>＝(abc)^[(a+b+c)/3]
等号仅当a=b=c时成立。

Answer 2

如下，利亏悔源用切比销态雪夫不等前知式即可

Answer 3

a>b>0时，a-b>0,ln(a/灶祥衫b)>0,则(a-b)ln(a/b)>0
b>a>0时，a-b<0,ln(a/b)<0,则(a-b)ln(a/b)>0
所以a和b为不相等的正值时，始终隐腔有(a-b)ln(a/b)>0
aln(a/b)>bln(a/b)
因为ln(a/b)=lna/lnb
所以alna+blnb>alnb+blna
同样的
alna+clnc>alnc+clna
blnb+clnc>blnc+clnb
上面三式相加后得到
2(alna+blnb+clnc)>alnb+alnc+blna+blnc+clna+clnb
两边同时加上alna+blnb+clnc并合并得到
3(alna+blnb+clnc)>(a+b+c)(lna+lnb+lnc)
也即
alna+blnb+clnc>(a+b+c)(lnabc)/3
因为y=e^x是增函数
e^(alna+blnb+clnc)>e^[(lnabc)(a+b+c)/3]=[e^(lnabc)]^[(a+b+c)/3]
则宴冲
a^a*b^b*c^c>(abc)^[(a+b+c)/3]

Answer 4

应该是 a^a * b^b * c^c > (abc)^[(a + b + c)/3] 如0 < 1 < 2 < 3 3^3 * 2^2 * 1^1 = 108 > (3 * 2 * 1)^[(3 + 2 + 1)/3] = 36 证明 对a^a * b^b * c^c > (abc)^[(a + b + c)/3]两边取对数有 a^a * b^b * c^c > (abc)^[(a + b + c)/3] <-> lg(a^a * b^b * c^c) > lg{(abc)^[(a + b + c)/3]} <-> a * lga + b * lgb + c * lgc > (a + b + c)/3 * (lga + lgb + lgc) 因为0 < c < b < a，则lgc < lgb < lga 所以穗察 a * lga + b * lgb + c * lgc > 1/3 * (a + b + c) * (lga + lgb + lgc) 得证 PS：切比没族扰雪夫不等式 设存在枯旦数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn 　　那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)