Question

二项式展开式中系数最大的一项问题

书上的方法是列不等式组，解出大于等于相邻两项的项。但这种方法默认每一项的系数组成的数列是先增后减的，但这是为什么呢？不能直接说明没有多个不相邻的解，二项式系数是先增后减的没错，但是当它乘上另一个数列时就不一定了啊！
这不是一道题，我是对这个方法的原理有疑惑！
请仔细看好问题再回答！

Answer 1

你好，我用死算的方法来说明。

假设一个二项式是（ax+by)^n，当然x,y的指数可以换，其中a,b为系数，不妨设a,b＞0。

那么按照书上的方法求系数最大项，可列方程：

即：

即：

解得：

很显然：

所以最少解出一个整数解，最多解出两个相邻的整数解。不会有提问者说的情况。

比如（1+3x）^5，a=1,b=3,n=5,按照我解得的不等式可算出3.5≤r≤4.5，则r=4

再比如（2x+5y）^6，解得4≤r≤5,则r=4或5。你可以验算一下确实是这样。

当a,b不都为正的时候你可以另外算一下，应该差不多。

当然我也只是说明书本上的方法没有问题，但原理我也说不清楚。

Answer 2

最大二项式系数就是求
C0n，C1n，……，Cnn中的最大的
而这个数列是先增大后减小的
所以最大的一个在中间，
如果n是奇数，最大的就是最中间一个
如果n是偶数，最大的就是最中间两个

展开式最大项是二项式系数还要乘以二项式中本身的数字。
这就要视题目而言，做一些比较

具体地说比如(a+b)^n展开，其中a，b是两个数字。
因为展开式是按照a的降幂排列，b的升幂排列，所以先看a和b的大小。
如果a大，那么最大项肯定在前一半，如果b大，就在后一半。
另外，如果是(a-b)^n的话，因为偶数项都是负的，所以只在奇数项里求就行了。
还是那句话，求最大项没有什么通法，还是得照上面的原则做一些比较。
不过一般能在题里出的都不会太麻烦。因为现在考试对计算能力的要求已经大大降低了。所以不用害怕此类题目。

再补充：
简单的说：二项式展开式的每一项，其实就相当于两个数列的对应乘积。一个是二项式系数的数列，即C0n,C1n,C2n……Cnn，这个数列是对称的，先增后减。另一个是上面的a和b的幂的乘积。这个数列是单调的，如果a大单调递减，如果b大单调递增（前提是b是正的）。
你所问的问题其实就相当于：一个单调数列与一个先增大后减小，有一个最大值的数列，对应相乘，结果会不会出现两个以上的最大值。
我想你也能想到了，答案是：不可能！
一个单调数列与一个先增大后减小的数列对应相乘，结果还是先增大，后减小。改变的只有最大值出现的位置。如果单调数列是增的，最大值会前移；单调数列是减的，最大值会后移。甚至有可能出现在第一个或者最后一个，但绝不会增加。
不知道你听明白了没有。

祝您愉快

追问

“一个单调数列与一个先增大后减小的数列对应相乘，结果还是先增大，后减小。改变的只有最大值出现的位置。如果单调数列是增的，最大值会前移；单调数列是减的，最大值会后移。甚至有可能出现在第一个或者最后一个，但绝不会增加。”
这是为什么？

Answer 3

1、二项式系数最大的是中间一项或中间两项；
2、系数最大的项，未必是二项式系数最大的项，所以是利用T(r＋1)的系数大于等于T(r)的系数且T(r＋1)的系数大于等于T(r＋2)的系数来解决的。
3、二项式系数和系数的两回事！！！！！！！！！！

追问

我想问的就是不等式的原理，没错，这样一定可以解出最大值，但是，有没有可能发生有多个值符合这个特征。要证明只解出一个或相邻两个项，就一定要证明各项系数组成的数列一定是先增后减的，中间没有其他增减性。

追答

1、此方法是求解二项展开式系数最大值的最一般方法，比较合理，也容易掌握，学生接受程度比较好；
2、因此法在求解中采用了类似数学归纳法中的递推，一般情况下可以确定出系数最大时的r的值【当然，有时可能出现2个，因为不等式是带有等于号的】；
3、你的问题是：未必一定要知道整个系数组成的数列有先增后减或先减后增的形式的。因为这是个不等式组，其中含有三个项，随着r的不同取值，每一项都会被取到三次的【前两项和末两项除外】，且这三项之间存在单调性，而不是整个系数列存在单调性。本身这个方法仅仅是研究三项的单调性而已。

另外，二项式定理带来的二项式系数或者系数研究，在高考中的要求一般也比较低，能解决某一项系数或者系数和的问题，基本上也就可以了，最多结合数学归纳法证明下。。

追问

这样就是说没有办法说明不会在不相邻的r上解出不同的解了?

追答

选择相邻的三项，组成不等式组，仅仅是保证了这三项之间是“低、高、低”的格局，未必一定要展开式的整个系数列也具备增减性的，而且每一项在整个不等式组中，都会出现三次【有几项除外】，这就保证依据不等式组得到的r的值，是能够作为系数最大的r的值的。

追问

设一个数列{ar}
a(1)=1，a(2)=5，a(3)=4，a(4)=3，a(5)=8，a(6)=5，a(7)=5
按照不等式组，解出的r会是多少呢？

追答

按照这个数据的话，r=4
【a(5)=8应该是第五项，则r=4】

追问

你觉得第二项不满足不等式组吗？

追答

1、我给出的不等式组是：
①T(r＋1)的系数大于等于T(r)的系数，且
②T(r＋1)的系数大于等于T(r＋2)的系数
2、在你所给出的数据中，
①a(1)、a(2)、a(3)，显然满足要求；但：
②a(2)、a(3)、a(4)，则不满足了。
这就是为什么我说的：只保证连续的三个系数是“低、高、低”，而且每个系数都出现三次【部分没有出现三次】

追问

不对。对于r=1满足不等式组，那么r=1就是不等式组的一个的一个解。

追答

若你真想深刻理解，请你给出具体题目
【我觉得你所提供的数列{ar}是不可能成为某展开式中的系数的】

追问

你这样觉得可以，但我想知道的是为什么“用不等式组只会有一个或相邻两个解”，这实际上是要证明它的充分条件“系数组成的数列是先增后减的”。

追答

因为从不等式“低、高、低”解得的r的只，最多只能是“高、高、低”或者是“低、高、高”，一般情况下是不会出现三个都相等的情形的。从我从教20年的经历来看，似乎这样的事件出现的概率很小，至少我还没遇到。
二项式定理其实在高中阶段其实是个简单问题研究，也只属于A级要求，别整得很复杂的。

追问

我是认为不能排除出现多个“低，高，低”，这样不等式组就有可能解出多个不相邻的解。我们老师也说还没有见过这种情况，不过也没说不可能出现。所以这个问题到现在还没有实质性进展，这也不是高中阶段的问题。

Answer 4

中间一项，或中间两项(一样大)

Answer 5

c下面的m是奇数则最大值是cm（（m+-1）除以2） m是偶数为cm（（m+1）除以2）

你把题搞出来啊光说太抽象了