Question

高中数学解析几何

http://wenku.baidu.com/view/0f255b54f01dc281e43af007.html
第13题填空题

Answer 1

由两方程联立可以很快得到A，B两点坐标为
A(-a,0) B(a,0)
设P(x1,y1) M(x2,y2)
则 AP=(x1+a,y1) BP=(x1-a,y1)
AM=(x2+a,y2) BM=(x2-a,y2)
则AP+BP=(2x1,2y1) AM+BM=(2x2,2y2)
这里lamda用符号S表示
根据 AP+BP=S(AM+BM)
得到 x1=Sx2 y1=Sy2

将P,M坐标分别代入双曲线和椭圆方程
(Sx2/a)^2-(Sy2/b)^2=1
(x2/a)^2+(y2/b)^2=1;
则得到
(x2/a)^2=(1+1/S^2)/2
(y2/b)^2=(1-1/S^2)/2
将x1,x2,y1,y2的关系代入有
(x1/a)^2=(S^2+1)/2
(y1/b)^2=(S^2-1)/2

下面分析斜率问题
k1=y1/(x1+a) k2=y1/(x1-a)
则k1+k2=y1/(x1+a)+y1/(x1-a)
(这里对两式通分相加)
k1+k2=2x1y1/(x1^2-a^2)
其中分子为
2x1y1=2S^2x2y2
分母为
x1^2-a^2=[(S^2-1)/2]a^2
k1+k2=4S^2x2y2/a^2/(S^2-1)

另外
k3=y2/(x2+a) k4=y2/(x2-a)
则k3+k4=y2/(x2+a)+y2/(x2-a)
(这里对两式通分相加)
k3+k4=2x2y2/(x2^2-a^2)
其中分母为
x2^2-a^2=[(1/S^2-1)/2]a^2
则k3+k4=4x2y2/a^2/(1/S^2-1)=4S^2x2y2/a^2/(1-S^2)

发现k1+k2+k3+k4=0

k3+k4=-(k1+k2)=-5

Answer 2

设P(x1,y1),M(x2,y2),O为坐标原点
显然 向量AP+向量BP=2向量OP，向量AM+向量BM=2向量OM
由于 向量AP+向量BP=λ（向量AM+向量BM）
故 向量OP=λ（向量OM）
因此，O、P、M三点共线，即y1/x1=y2/x2………………（1）
由已知得x1²/a²-y1²/b²=1 得x1²-a²=a²y1²/b² ……………(2)
x2²/a²+y2²/b²=1得x2²-a²=-a²y2²/b² ……………………(3)
由于k1+k2=5
则y1/(x1+a)+y1/(x1-a)=5
整理得2x1y1/(x1²-a²)=5
将(2)带入得x1/y1=5a²/(2b²)
由(1)得x2/y2=5a²/(2b²)……………………(4)

最后k3+k4=y2/(x2+a)+y2/(x2-a)=2x2y2/(x2²-a²)
将(3)带入得k3+k4= (-2b²/a²)(x2/y2)
将(4)带入得k3+k4= -5