Question

非齐次线性方程组由解向量求通解

设A为4×3矩阵，a,b,c是非齐次线性方程组Ax＝b的3个线性无关的解向量，k1,k2为任意常数，则非齐次线性方程组Ax＝b的通解为？ 为什么是（b＋c）÷2＋k1（b－a）＋k2（c－a）

Answer 1

因为 非齐次线性方程组Ax＝b 有3个线性无关的解向量
所以 AX=0 的基础解系含 3-1 = 2 个向量

(1/2)(b+c) 是非齐次线性方程组的解
b-a,c-a 是 AX=0 的解
-- 这是解的性质, 直接代入方程验证即可

又由 a,b,c 线性无关得 b-a, c-a 线性无关
所以 b-a,c-a 是 AX=0 的基础解系.
故通解为 (1/2)(b+c) k1(b-a)+k2(c-a).