Question

已知a+b+c=6，求a^2+b^2+c^2的最小值

Answer 1

可由a+b=6类似得到。
当a=b时，a^2+b^2得到最小值
同理，当a=b=c=2时，a^2+b^2+c^2得到最小值为12具体解法：
设k为一个变量
函数F=a^2+b^2+c^2+k*(a+b+c)
分别对a,b,c求偏导，得：
2a+k=0,2b+k=0,2c+k=0
所以
a=b=c=2

还可以
用柯西不等式：（A^2+B^2+C^2）*（1+1+1）>=(A+B+C)^2=36
所以A^2+B^2+C^2>=36/3 =12

柯西不等式 (a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 　
　等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 　
　扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;

Answer 2

如果填空题则可直接令a=b=c＝2 即得到a^2+b^2+c^2最小值为12 因为涉及到均值不等式 如果你拿不定 还可令取一组数据 比较大小 看看是最大值还是最小值 如果大题可以这样a+b+c=6(a+b+c)^2=a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca=36a^2+b^2>=2abb^2+c^2>=2bcc^2+a^2>=2ca36=a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca<=3a^2+3b^2+3c^2a^2+b^2+c^2>=12a^2+b^2+c^2的最小值=12

Answer 3

a+b+c=6
(a+b+c)^2=a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca=36
a^2+b^2>=2ab
b^2+c^2>=2bc
c^2+a^2>=2ca
36=a^2+2ab+b^2+2bc+c^2+2ca<=3a^2+3b^2+3c^2
a^2+b^2+c^2>=12
a^2+b^2+c^2的最小值=12
此时 a=b=c=2

Answer 4

∵a+b+c=6
∴(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=36
∵a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ca
∴2ab+2bc+2ca≤2a²+2b²+2c²
∴36=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3a²+3b²+3c²
∴a²+b²+c²≥12
∴a²+b²+c²的最小值为12，此时a=b=c=2

Answer 5

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