Question

如图所示,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cosA=3/5.

求（1）DE，CD的长；（2）tan∠DBC的值。

Answer 1

解：因为。 DE垂直于AB，
所以。 cosA=AE\AD，
因为。 cosA=3\5，AE=6，
所以。 AD=10，DE=8，
因为。 BD平分角ACB，角C=90度，DE垂直于AB，
所以。 DC=DE=8，
所以。 AC=AD十DC=18。
因为。 在三角形ABC中，角C=90度，cosA=3\5，
所以。 AC\AB=3\5，
因为。 AC=18，所以。 AB=30，BC=24，
所以。 tanDBC=DC\BC=8\24=1\3。

Answer 2

解（1）∵ DE⊥AB∴∠AED=90°，△ADE为直角三角形
∵cosA=3/5∴sinA=√（1-cos²A）=4/5∴tanA=sinA/cosA=4/3
在Rt△ADE中，AE=6
∴DE=AEtanA=6*(4/3)=8
又∵BD平分∠ABC∴CD=DE=8
（2）∵∠C=90°∴sin∠ABC=sin(90°-∠A）=cosA=3/5
∴cos∠ABC=√（1-sin²A）=4/5
∴tan∠ABC=sin∠ABC/cos∠ABC=3/4，
又∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC
∴tan∠ABC=tan2∠DBC=(2tan∠DBC)/（1-tan²∠DBC）=3/4
解得tan∠DBC=1/3或-3（舍去）
（说明：0<∠ABC<180°，∠ABC=2∠DBC∴0<∠DBC<90°∴tan∠DBC>0)
∴tan∠DBC=1/3

Answer 3

解：（1）在Rt△ADE中，由AE=6，cosA= AE/AD= 3/5，得：AD=10，
由勾股定理得DE=根号（ AD的平方-AE的平方)= 根号(10的平方-6的平方)=8
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，角平分线性质得：DC=DE=8．
（2）方法一：由（1）AD=10，DC=8，得：AC=AD+DC=18．
在△ADE与△ABC，∠A=∠A，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC得： DE/BC= AE/AC，即 8/BC= 6/18，BC=24，
得：tan∠DBC= CD/BC= 8/24= 1/3
方法二：由（1）得AC=18，又cosA= AC/AB= 3/5，得AB=30，
由勾股定理得BC=24（5分）得：tan∠DBC= 1/3．