Question

直角梯形abcd中，ad平行于bc，角a等于90°，ab等于ad等于6，de垂直于dc交ab于e，df平分角edc交bc于f，连接

ef 1.证明:ef=cf 2.tan∠ade＝三分之一时，求ef的长

Answer 1

第一个问题：
过D作DG⊥BC交BC于G。
∵AD∥BG、AD⊥AB、DG⊥BG，∴ABGD是矩形，又AB＝AD，∴矩形ABGD是正方形，
∴AD＝GD、∠ADG＝∠DGC＝90°，∴∠ADE＋∠EDG＝∠EDG＋∠GDC，
∴∠ADE＝∠GDC，∴△ADE≌△GDC，∴∠DE＝DC，又DF＝DF、∠EDF＝∠CDF，
∴△EDF≌△CDF，∴EF＝CF。

第二个问题：
∵tan∠ADE＝1/3，∴AE/AD＝1/3，∴AE/6＝1/3，∴AE＝2，∴BE＝AB－AE＝6－2＝4。
∵ABGD是正方形，∴BG＝AD＝6。
∵△ADE≌△GDC，∴AE＝GC＝2，∴BC＝BG＋GC＝6＋2＝8。

∵ABGD是正方形，∴BE⊥BC，∴由勾股定理，有：EF^2＝BE^2＋BF^2，
∴EF^2＝16＋（BC－CF）^2＝16＋（8－EF）^2＝16＋64－16EF＋EF^2，
∴16EF＝16＋64，∴EF＝1＋4＝5。