Question

一道数学画图题目

要把一个正方体分割成49个小正方体（小正方体的大小可能不等），画图表示。

Answer 1

先把正方体的高分别分成1、2、3的3部分

再把高1的长方体分割成36个边长为1的正方体

把高2的长方体分割成9个边长为2的正方体

把高3的长方体分割成4个边长为3的正方体

追问

请问还可以象答一般的题目一样写出解题的过程吗？

追答

我只能这样解答了，果要像解方程式一样解答我真做不到。

Answer 2

解：这题是一个关于倍增的问题。
分析：一个正方体要把它切成小正方体，注意，是切成正方体，那么从正方体的侧面看，也就是把某个面要等分成正方形，然后其它面同样方法切，这样就切成了正方体。
切法一：边长是原来1/2，切成8（2^3）个正方体，增加7（2^3-1）个正方体；
切法二：边长是原来1/3，切成27（3^3）个正方体，增加26（3^3-1）个正方体；
切法三：边长是原来1/4，切成64（4^3）个正方体，增加63（4^3-1）个正方体；
切法四：边长是原来1/5，切成125（5^3）个正方体，增加124（5^3-1）个正方体；
以此类推……
其实，最基本的就切法一和切法二，
切法一就是取其中任一正方体切成8个正方体，实际正方体增加个数为7，
切法二就是取其中任一正方体切成27个正方体，实际正方体增加个数为26，
再往后的等分法，都是可以通过切法一和切法二组合完成，
这个题目是一个很好的题型，但是很遗憾，这个题目无解，不知道你题目哪里来的，题目错了！

追问

您放心，题没有错。

追答

逆推组合的问题如下：也就是可以这样想，先等分成很多的小正方体，但是可以考虑将其中的一部分小正方体组合成稍微大一点的正方体，实际就是切的时候某一部分实际没有切分而已。
这样的话，8个可以组合成一个，正方体数目减少7个，27个正方体可以组合成一个，正方体数目减少26个，以此类推。
此题就是先平均6等分，得到216个小正方体，但是实际其中有8个小正方体组合成一个大点的正方体，这样的组合有9组，正方体数目减少7*9=63，其中还有27个正方体组合成更大一点的正方体，这样的组合有4组，正方体数目减少26*4=104，组合也就是在切分的时候实际没有切而已，这样实际总共正方体数目就是216-63-104=49.
这道题目是让画图表达，如果增加一点难度，问你能不能切割成56,82等等其它数目的时候就不是画图那么简单能解决了。所以说这题是一个非常好的题型，看似简单，实际解决起来有点绕。

追问

我明白了。是不是可以这样：
设切出棱长为1的正方体X个，设切出棱长为2的正方体Y个，设切出棱长为3的正方体Z个
有方程组： X+8Y+27Z=216 ； X+Y+Z =49。
X=36 Y=9 Z=4
这样就可以切了。

追答

这种题目的解答最好的方法就是分析，弄清楚问题的本质，理解了就很简单。列方程组解我不敢说不行，但是肯定很复杂，要分很多种情况，要么你分析，要么你有灵感，能很快想到下面画图的那种方法，但是如果再复杂一点的话画图就难说明了，所以最好还是理解，分析问题的本质。

Answer 3

将魔方的切法，每面切三刀，得25个相同的小正方形，取其中一个相同切法 又25个。24大+25小=49。绝对正确

追问

请用画图表示。

Answer 4

这个画图真有点难度！