Question

没有百度分了，求帮忙：若不等式（a-a2）（x2+1）+x≤0对一切x （0,2]恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

令y＝（a－a^2）（x^2＋1）＋x＝（a－a^2）x^2＋x＋a－a^2。
一、当a－a^2＝0时，原不等式就是x≦0，这对于x∈（0，2］显然是不成立的。
　　∴这种情况应舍去。

二、当a－a^2＞0时，y＝（a－a^2）x^2＋x＋a－a^2是一条开口向上的抛物线，
　　∴要使x∈（0，2］时，有y≦0，就需要满足：y（0）＝a－a^2＜0，但a－a^2＞0，
　　∴当a－a^2＞0时，在x∈（0，2］上不可能有y≦0。
　　∴这种情况应舍去。

三、当a－a^2＜0时，y＝（a－a^2）x^2＋x＋a－a^2是一条开口向下的抛物线，
　　1、此时若抛物线与x轴相切或相离，则肯定是可以满足题意的，
　　　　∴此时需要：1－4（a－a^2）≦0，
　　　　∴4a^2－4a＋1≦0，∴（2a－1）^2≦0，∴2a－1＝0，∴a＝1/2。
　　　　但此时，a－a^2＝1/2－1/4＞0，不能满足a－a^2＜0。
　　　　∴这种情况应舍去。

　　2、此时若抛物线与x轴相交，则需要同时满足：
　　　　y（0）＝a－a^2＜0、4（a－a^2）＋2＋a－a^2≦0、1－4（a－a^2）＞0。
　　　　由a－a^2＜0，得：a（a－1）＞0，∴a＜0、或a＞1。······①
　　　　由1－4（a－a^2）＞0，得：（2a－1）^2＞0，∴a＜－1/2，或a＞1/2。······②　　　　
　　　　由4（a－a^2）＋2＋a－a^2≦0，得：5a^2－5a－2≧0，∴a^2－a－2/5≧0，
　　　　∴（a－1/2）^2－1/4－2/5≧0，∴（a－1/2）≧13/20＝65/100，
　　　　∴a－1/2≦－√65/10，或a－1/2≧√65/10，
　　　　∴a≦（5－√65）/10，或a≧（5＋√65）/10＞1。······③
　　　　容易验证出：（5－√65）/10＞－1/2。
　　　　∴由①、②、③，得：a＜－1/2，或a≧（5＋√65）/10。

∴满足条件的a的取值范围是（－∞，－1/2）∪［（5＋√65）/10，＋∞）。

Answer 2

解：（a²-a）x²-x+a²-a≥0
设f（x）=（a²-a）x²-x+a²-a
分下列种情况：
①当a²-a=0时，即a=0或a=1，
原式为-x≥0，x∈（0,2]时，
不成立。
②a²-a＜0，即a∈（0,1）若x∈（0,2]时，
（a²-a）x²-x+a²-a≥0恒成立，
f（0）=a²-a≥0
而a²-a＜0
所以不成立
③a²-a＞0时，即a∈（－∞，0）∪（1，﹢∞）
1，若Δ=b²-4ac=1-4（a²-a）²≤0，
且0≤1/[2（a²-a）]＜2
抛物线与x轴只有一个交点，所以满足条件。
解得：x∈﹙-∞，（1-√3）/2]∪[（1+√3）/2，＋∞﹚
2，若1/2（a²-a）≥2
只需满足f（2）=5（a²-a）-2≥0即可
解方程组无解
综上：x∈﹙-∞，（1-√3）/2]∪[（1+√3）/2，＋∞﹚