Question

判别下列级数的敛散性：∑[1/n-ln((n+1)/n)]，用泰勒公式具体该怎么做呢？

Answer 1

∑[1/n-ln((n+1)/n)]=∑[1/n-ln(1+1/n)]
注意到ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)=x-x^2/2+O(x^2)
所以ln(1+1/n)=1/n-1/(2n^2)+O(1/n^2)
∑[1/n-ln(1+1/n)]=∑[1/(2n^2)+O(1/n^2)]这两部分显然都绝对收敛 所以原级数收敛

追问

为什么只到x的2次方呢？

追答

因为后面都一定收敛 没有必要继续写了~可以把它看成一些较小的量~
x^2是一定要有的 因为O(1/n)没法判断~

Answer 2

用Cauchy积分判别法来做，把数列求和变成积分，下面是mathematica程序
Integrate[1/x, {x, 1, n}, Assumptions -> n > 1] = Log[n]
Integrate[Log[x]/x, {x, 1, n}, Assumptions -> n > 1] = Log[n]^2/2

n趋于无穷的时候，Log[n]-Log[n]^2/2 为无穷，所以级数发散