Question

已知双曲线的一条渐近线方程式y=（根号2）x,一个焦点为(根号3,0)

1）求双曲线方程
2）问是否岑仔直线l国电M（1,1），使l与双曲线交于两点P1，P2且点M恰好是P1，P2的中点，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由

Answer 1

∵双曲线的一条渐近线方程y=√2 x,一个焦点为(√3,0)
∴设双曲线方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1
∴b/a=√2, c=√3 c^2=a^2+b^2
解得：a=1,b=√2,c=√3
∴双曲线方程是x^2-y^2/2=1
2
y-1=k(x-1) 即y=kx-(k-1) 代入x^2-y^2/2=1
2x^2-[kx-(k-1)]^2-2=0
整理得： （2-k^2)x^2+2k(k-1)x-(k-1)^2-2=0
Δ=4k²(k-1)²+4(2-k²)[(k-1)²+2] >0 (2-k^2≠0)
P1(x1,y1），P2（x2,y2)
x1+x2=-2k(k-1)/(2-k²)
若M恰好是P1P2的中点
则=-2k(k-1)/(2-k²)=2
==>k=2 代入Δ
Δ=16-24=-8<0
∴符合条件的直线不存在