Question

数列a(n+1)=2an/(1+an^2),a1=1/2 ,求数列{an}通项公式是什么？？求高人

Answer 1

答案：1 - 2/(1 + 3^2^(n - 1))
我是借助 Mathematica 来求解的，因为中间计算很繁琐，且有一步我也不太会。首先算出这个数列的前几项：
f[n_] := If[n == 1, 1/2, 2 f[n - 1]/(1 + f[n - 1]^2)]
s = Table[f[k], {k, 1, 5}]
输出：
{1/2, 4/5, 40/41, 3280/3281, 21523360/21523361}

这个时候我发现分子比分母小1

于是我假定 f[n] = p[n]/(p[n]+1)，这一步可以用数学归纳法来证明，下面的Mathematica代码给出验证结果。
f = (-1 + p)/p
2 f/(1 + f^2) // FullSimplify
输出结果
(2 (-1 + p) p)/(1 + 2 (-1 + p) p) 分母确实比分子大1

这个时候，我欲求f[n]，就转换为求p[n]
根据f[n]与f[n-1]的关系式，把p[n]带入得到
p[n]/(1 + p[n]) = (2 p[n - 1]/(1 + p[n - 1]))/(1 + (p[n - 1]/(1 + p[n - 1]))^2)
这个可以解得p[n]与p[n-1]的关系式：
p[n] = 2 (p[n-1] + p[n-1]^2) = 2 * p[n-1] * ( 1 + p[n-1] )
对上面式子右边进行配方得：
p[n] = 2 (p[n-1] + 1/2)^2 - 1/2
再代换一步
q[n] = p[n]+1/2
就得到了
q[n] = 2 q[n-1]^2
通过查书得知，这种叫非线性递归方程，一般是很难有解的，有的情况还会导致混沌现象。但是万幸，你这个情况是有解的。一般来说，递归方程：
a[n] == k*a[n - 1]^2
两边取对数之后变成:
log( a[n] ) = log(k) + 2 log(a[n-1])
可以解出它的通解为：（注意从这里开始都是幂指数的幂指数）
a[n] = E^(2^n C)/k 这里C为一个待定常数

因此我们这里的q[n] = a[n] = E^(2^n C)/2, 且q[1] = p[1]+1/2 = 1+1/2 = 3/2
C=Log[3]/2
带入化简得到：
q[n] = (3^2^(n-1))/2

从而p[n] = (3^2^(n-1))/2-1/2
f[n] = p[n]/(p[n]+1) = ((3^2^(n-1))-1)/((3^2^(n-1))+1) 或者 1 - 2/(1 + 3^2^(n - 1))

中间计算太繁琐了，有可能有不对的地方，但最后的通项公式我是编程验证过的，没有问题。
Mathematica程序验证一下：
Table[((3^2^(n - 1)) - 1)/((3^2^(n - 1)) + 1), {n, 1, 10}]

note:
关于这个问题，我一开始觉得这个递推表达式跟某个三角函数的公式很像，但是推了半天无功而返。但是后来我用Mathematica来求解的时候发现，直接求解f[n]得不到解，但求p[n]有解，而且在复数域还有一个解，这说明这个通项公式可以用三角函数来表示。看来也许真的可以用三角函数的公式来巧妙求解，只不过我的功力粗浅，无法完成了。

Answer 2

答案比较难写,见图片吧,你自己可在本子上用数学归纳法证明

Answer 3

你看看吧！不是很难，就是计算复杂点

Answer 4

我这个回答更直观且简单

求解几项后发现每项都具有1-1/bn的形式，其中bn是一个新数列（且每项都是整数），用这个形式代替an可以得到bn的递推公式：
b(n+1)=bn^2+(bn-1)^2
且b1=2
两边同时乘以2再减1，可以得到
2b（n+1)-1=(2bn-1)^2
于是得到
2bn-1=(2b1-1)^(2^(n-1))=3^(2^(n-1))
然后你就知道怎么做了

答案与第一个回答相同，见他那个图片