Question

问一道超难的初中数学几何题，有图片！

好像要构造等边三角形！

Answer 1

设O点为三角形的外心。连OD,OE,OA,OB,OC
由于∠BOC= 2∠A = 60°，OB = OC
所以三角形OBC为正三角形。
所以OB = BC = DE
又∠DBO = ∠ABC - ∠OBC = 15° = ∠ADE
所以OB ∥ DE 即OBDE为平等四边形
所以∠DEO = ∠EDA = 15° = ∠DAO
所以DAOE四点共圆。所以∠ADO = ∠OEC = ∠DEC - ∠DEO = 30°
注意在以C为圆心，OC = CB为半径的圆上，弧BO对的圆周角为1/2∠OCA = 30° = ∠ADO，这说明D也在此圆上，所以DC = BC 证毕

Answer 2

楼上方法不错，给出一种不用四点共圆的方法：

以BC为边长作正△OBC，使O、A在
BC的同侧，连结OA、OD、OE
∴∠ABO＝15°＝∠ADC
∴DE∥OB
∵OB＝BC＝DE
∴四边形BOED是平行四边形
∴OE＝BD，∠OED＝∠OBD＝15°
∴∠OEC＝30°＝∠EAD
∵∠OCE＝15°＝∠OAD，OC＝BC＝ED
∴△COE≌△AOD
∴OD＝OE＝BD
∵OC＝BC
∴△BCD≌△OCD
∴∠BCD＝∠OCD＝30°
∴∠BDC＝180°－∠BCD－∠DBC＝75°＝∠DBC
∴BC＝CD

追问

谢谢，证明两个绿色全等也行！

Answer 3

∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
又∠BAC=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°
∵DE=BC且∠DEC=45°
∴∠CDE=90° ∠DEA=135°
∴∠ADE=15°
∴∠CDB=75°
∵∠ABC=∠CDB=75°
∴△CBD是等腰三角形
∴BC=CD （这也叫难）

追问

∵DE=BC且∠DEC=45°
∴∠CDE=90°
这个是为什么呢？

Answer 4

在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°
则∠B=∠C=75°
∵∠DEC=∠BAC+∠ADE
∠DEC=45°，,∠BAC=30°
∴∠ADE=15°
∴∠EDC=90°
∴∠DEC=∠DCE=45°
∴DE=DC
又∵DE=BC
所以BC=CD

Answer 5

在△ADE中，由正弦定理得AD／sin135º＝DE／sin30º
在△ABC中，由正弦定理得AC／sin75º＝BC／sin30º
∵DE＝BC
∴AC／sin75º＝AD／sin135º＝DE／sin30º
∴AC﹙√6－√2﹚＝√2 AD＝2DE
∴AD＝√2 DE
AC＝﹙√6＋√2﹚DE／2
在△ADC中，由余弦定理得
CD²＝AD²＋AC²－2AD·ACcos30º
将AD、AC的代数式代入可推出
CD²＝DE²
∴CD＝DE＝BC