Question

已知三次函数f(x)=2x^3+ax^2+bx+3,a,b为实数,曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为36，且切线与坐标轴

围成的三角形的面积为32/9 (1)求函数f(x)的解析式 （2）若a<0,f(x)+/3m+5/>=0对任意的x属于【-1,3】恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1. f'(x)=6x^2+2ax+b
k=y'|(x=-1)=6-2a+b 6-2a+b=36 b-2a=30
f(-1)=a-b+1
切线方程 y=36(x+1)+(a-b+1)
x=0 y=a-b+37=7-a
y=0 x=(b-a-1)/36-1=(29+a)/36-1=(a-7)/36
S=1/2|7-a|*|(a-7)/36|=32/9
(a-7)^2/36=64/9
(a-7)^2=4*64
a-7=16或a-7=-16
a=23或a=-9 b=2a+30
b=76或b=12
f(x)=2x^3+23x^2+76x+3或f(x)=2x^3-9x^2+12x+3
（2）a<0
f(x)=2x^3-9x^2+12x+3
f'(x)=6x^2-18x+12
令f'(x)=0 x=1或x=2
f(-1)=-20
f(1)=7
f(2)=7
f(3)=12
f(x)在【-1,3】上最小值=-20
|3m+5|-20>=0
|3m+5|>=20
3m+5>=20或3m+5<=-20
m>=5或m<=-25/3
实数m的取值范围为 m>=5或m<=-25/3