Question

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a、b、c,已知cosC/2=根号5/3 求cosC （2）acosB+bcosA=2求ABC面积最大值

Answer 1

1）已知cos(C/2)=√5/3
cosC=2[cos(C/2)]²-1=2*5/9-1=1/9
2)sinC=√(1-cos²C)=4√5/9
由余弦定理acosB+bcosA=a*(a²+c²-b²)/2ac+b(b²+c²-a²)/2bc=c
所以c=2
再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC
即4=a²+b²-(2/9)ab≥2ab-(2/9)ab=(16/9)ab
所以ab≤9/4
三角形ABC面积S=(1/2)absinC=(2√5/9)ab≤(2√5/9)*(9/4)=√5/2
故三角形ABC面积的最大值为√5/2

Answer 2

①由半角函数式得 √5／3＝cos(c½)＝√{½(1＋cosa)}，
,两边平方得5／9＝½＋½cosa ，
cosa＝1／9.
②外接圆半径R＝abc／4S,则面积S＝abc／4R；S要最大值，就要a＝b＝c，即三边相等，
即三个角相等均60º；代入已知②得
acos60º＋bcos60º＝2, a½＋a½＝2, a＝b＝c＝2;
还有面积公式S＝½absinC＝½×2×2×(√3／2)＝√3 (最大值）。

Answer 3

正弦定理可知，sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC
即sin(A+B)=2sinCcosC,又sin(A+B)=sinC,所以cosC=1/2
∠C=60

2）S=1/2absinC =1/2*2*b*根号3/2=4根号3，因此b=8,

再由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+84-16=72
后略