Question

高数定积分题目，求解，希望有详细过程和说明，谢谢！

Answer 1

1. ∫sinxdx= -cosx+c, 定积分 = -(cosπ - cos0) = -(-1 -1) = 2
A

2. ∫sin(x+ π/2)dx= ∫sin(x+ π/2)d(x +π/2) = -cos(x+π/2) +c
定积分 = -(cos(π/2 + π/2) - cos(0 + π/2) = -[cosπ - cos(π/2)] = -(-1 -0) = 1
C

3. ∫dx/(4-3x) =(-1/3)∫d(-3x)/(4 - 3x) = (-1/3)∫d(4 -3x)/(4 - 3x)
= (-1/3)ln|4 - 3x| + c
定积分 = (-1/3)(ln1 - ln4) = (ln4)/3
B

4. ∫(lnx)dx/x = ∫lnxd(lnx) = (1/2)ln²x + c
定积分 = (1/2)(ln²e - ln²1)
= (1/2)(1² - 0²) = 1/2
A

5. 二者交点为O(0, 0), A(1, 1).
前者为开口向右，以x轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线; 后者为过原点，斜率为1的直线. 二者所围成的部分在第一象限. 此时抛物线y = √x; 且在线段OA上方.
(1) 如以x为自变量, 则为从0到1的定积分 ∫(√x - x)dx
(2) 如以y为自变量, 则为从0到1的定积分 ∫(y - y²)dy (y相同时，OA的横坐标比抛物线的横坐标大)
答案D
两种算法的结果都是1/6