Question

如图所示,有一根轻杆AB,可绕O点,在竖直平面内自由转动,在AB两端各固定一个质量为m的小球,OA和OB的长度分别

如图所示,有一根轻杆AB,可绕O点,在竖直平面内自由转动,在AB两端各固定一个质量为m的小球,OA和OB的长度分别为2a和a,开始时,杆AB静止在水平位置,释放后杆AB转到竖直位置,AB两端小球的速度和分别是多少 ？

Answer 1

把OA和OB的长度分别为2L和L，（不要用a,会和后面加速度混的）。设B，A两球的速度分别是v和2v.
损失的重力势能转化成两球的动能， 2mgL=(1/2)mv²+(1/2)m(2v)² , vB=√(0.8gh),vA=2√(0.8gh),加速度aA=v²/rA=(1.6gh)/L, aB=v²/rB=(0.4gh)/L.
若用回题中字母,AB两端小球的加速度就是；(1.6gh)/a,(0.4gh)/a.

Answer 2

设杆AB水平势能为0

释放后杆AB竖直状态时，B端升高了a，A端下降了2a，此时能量如下
(1/2)*m*(A球速度的平方)+(1/2)*m*(B球速度的平方)+mga+（-2mga）

忽略摩擦等能量的损耗，即动能和势能守恒，那么初末能量应相等，即
(1/2)*m*(A球的速度的平方)+(1/2)*m*(B球的速度的平方)+mga+（-2mga）=0

另根据几何关系，A球速度=-B球速度*2

解以上方程组，即可得球B速度的平方=[（2/5）*ga]

Answer 3

机械能守恒：2*mg*2a=0.5mva^2+0.5mvb^2+mg3a
又角速度相同：wa=wb，即va/2a=vb/a，即va=2vb

mga=0.5*m(5vb^2)，vb=sqrt(2ga/5)
va=2sqrt(2ga/5)

Answer 4

设B速度v，则A速度2v （线速度相同，半径为2倍关系）
由机械能守恒得（设A最低点为零势面）
2mg2a=0+3mga+0.5mv²+0.5m(2v)²
解得v=√(1.6ga)